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03.16
Fri
こんばんは~

なんとなく春のけわいがしてきたのでブログのデザイン変えてみました。

あんま関係ないかぁ。

さて、最近STG的なものを制作中なのですが、

その中で敵の移動距離がしりたいなぁーって思った箇所がありまして、

自分なりに高校の時にやった曲線の長さの出し方をお浚いしてみました。

今回はその備忘録ということで。

だけど結局その処理は使わなかったんですけどねw


WARNING!!
これより下に書いてあることは真偽が定かじゃありません!
(そもそもどの記事もそうかもしれないけど)
なので鵜呑みにしないでね。


まぁこんなくだらない個人ブログで数学の勉強をする方がいないことを願って。

ただ、間違い等指摘して頂けると嬉しいです。




では、媒介変数tで表されるx = f(t) , y = g(t)について、

曲線上の長さを求めたいと思います。

まぁ具体的に言うならtは時間ですかね。


まず方針。

速さの式を積分したい。これで求まるわけです。

高校物理のあの有名な加速度の公式も互いに微分積分の関係ですよね。

考え方ですけど、曲線の長さといえど細かい区間に区切っておなじみ三平方の定理で

斜辺の長さを出して、それをたくさん足し算する的な感じです。

(あんまり余談すると間違えて恥ずかしくなるからこのへんでやめたw)

てか三平方の定理って万能ですよね~

図を用意してみました

lengthofline6.png


うーんなんて紛らわしい図だw

まぁ今赤い曲線の部分を求めたいわけです。

但し一つ注意。

ここではわかりやすいように大きな三角形になってますけど、本当は目に見えないくらいの小ささじゃなきゃダメです。

其々δがつくのはtが非常に短い間を表すからです。

んで三角形の斜辺δsは三平方の定理で、以下のようになります

lengthofline1.png

但しδx , δyはそれぞれ以下のように表せます

lengthofline7.png


速さにしたいのでδtで割ります。

lengthofline2.png

ここでδtの極限を取ります。限りなく0に近い間に移動させた時にできる三角形の斜辺の長さが欲しいので。

そして、δxとδyを上記の太字の式に置き換えます。

lengthofline3.png

ちゃんと表示されてるかな。?ちょっと横に大きくなりすぎてしまった。

で、ルートの中身が微分の形になっているので整頓したのが以下です

lengthofline4.png

で、こいつを積分してやれば曲線の長さになるわけです。

lengthofline5.png

取り敢えず終了です。

本当に間違ってるかもしれません > < ごめんなさい
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コメント
ブログ変えたんだね!お洒落(*^ ^*)
きたみ | 2012.03.17 00:45 | 編集
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